Родился в Калуге, отец Лев Лазаревич Авербах работал лесничим в калужских лесах, занимался поставкой дров в Москву, потом работал бракёром в тресте «Экспортлес», в 1930-х годах был репрессирован, но через год освобождён в связи с пересмотром дела, занимался торговлей лесом в Котласе, Кинешме[7]. Мать была православной набожной женщиной, работала в системе народного образования, преподавала русский язык и литературу, перед Великой Отечественной войной вместе с детским домом, директором которого была, эвакуировалась в Пензу. Его рано овдовевший дед, Михаил Васильевич Виноградов, служил налоговым чиновником калужской казённой палаты. Отношения с зятем-евреем и его роднёй у деда были натянутыми, что стало главной причиной переезда родителей Ю. Л. Авербаха из Калуги в столицу[8].
Семья переехала в Москву в 1925 году, жили в Большом Афанасьевском переулке, недалеко от Арбатской площади. Учился в бывшей Медведниковской гимназии в Староконюшенном переулке. В девятом классе прочёл всего Шекспира. На формирование личности Авербаха огромное влияние оказал профессор-лингвист Михаил Николаевич Петерсон, который привил будущему гроссмейстеру тонкий вкус к русской и зарубежной литературе. Много читал С. Т. Аксакова, Л. Н. Толстого, В. П. Катаева. Увлекался лыжами, хоккеем, волейболом, собирал марки, год занимался боксом, чтобы не давать себя в обиду арбатской шпане. Потом боксёрские перчатки обменял на шахматы. Четвёртый разряд получил на турнире в Парке культуры им. Горького. В 1939 поступил в МВТУ им. Баумана, что с началом войны дало бронь от мобилизации.
Начало войны 22 июня 1941 года встретил на паровозостроительном заводе в Коломне, где проходил производственную практику от МВТУ. Вместе с другими студентами был отправлен на бронетанковую базу под Наро-Фоминск, где занимался ремонтом танков и тягачей. В сентябре вернулся в Москву, но вскоре институт был эвакуирован в Ижевск[9]. В 1941—1943 учился в Ижевске, в Москву вернулся в апреле 1943 года[10]. В студенческие годы прекрасно освоил английский язык, что впоследствии имело неоценимое значение на международных соревнованиях, в зарубежных командировках, в тренерской и организаторской работе, на постах в Международной шахматной федерации (ФИДЕ). В молодые годы подрабатывал переводами с английского специализированных научных статей по газодинамике. Серьёзно заниматься шахматами стал через пять лет после окончания МВТУ. В шахматах больше всего ценил исследовательское направление[8].
Скончался 7 мая 2022 года на 101-м году жизни в Москве
За достижения в области шахмат награжден орденом Дружбы народов (1981), медалями «За трудовую доблесть» (1957) и «За доблестный труд. В ознаменование 100-летия со дня рождения В. И. Ленина» (1970).